Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (2) - Corrigé

Énoncé

On considère les suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  définies par : pour tout  \(n\in\mathbb{N}, \begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}w_n \\ w_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{1}{2}w_n \\u_0=10 \text{ ; } w_0=20 \end{cases}\) .

1. En posant, pour tout  \(n\in\mathbb{N},\)    \(X_n=\begin{pmatrix}u_n\\w_n\end{pmatrix}\) , justifier qu'on peut écrire ce problème sous la forme matricielle  \(X_{n+1}=AX_n\)  avec  \(A\)  et  \(X_0\)  des matrices à préciser.

2. Exprimer  \(X_n\)  en fonction de  \(A\)  et de  \(n\) .

3. Calculer  \(A^2\)  et en déduire une expression de  \(A^n\)  selon la parité de  \(n\) .

4. En déduire une expression de  \(X_n\) , puis de \(u_n\)  et \(w_n\)  en fonction de  \(n\) .

5. Les suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  convergent-elles ?

Solution

1. On peut aisément vérifier que le système  \(\begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}w_n \\ w_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{1}{2}w_n \\u_0=10 \text{ ; } w_0=20 \end{cases}\)  s'écrit sous forme matricielle  \(\begin{cases} X_{n+1}=AX_n \\X_0=\begin{pmatrix}10\\20\end{pmatrix} \text{ ; } A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} \end{cases}\) .

2.  \(X_n=A^nX_0\)

3.  \(A^2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}I_2\)  avec  \(I_2\)  la matrice identité de taille 2. On a donc, pour tout  \(k\in\mathbb{N}\) ,  \(A^{2k}=\dfrac{1}{2^k}I_2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2^k}&0\\0&\dfrac{1}{2^k}\end{pmatrix}\)
et  \(A^{2k+1}=\dfrac{1}{2^k}A=\begin{pmatrix}2\times\dfrac{1}{2^k}&2\times\dfrac{1}{2^k}\\2\times\dfrac{1}{2^k}&-2\times\dfrac{1}{2^k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2^{k-1}}&\dfrac{1}{2^{k-1}}\\\dfrac{1}{2^{k-1}}&-\dfrac{1}{2^{k-1}}\end{pmatrix}\) .

4. Pour  \(n=2k\)  pair, on a donc   \(X_{2k}=\begin{pmatrix}10\times\dfrac{1}{2^k}\\20\times\dfrac{1}{2^k}\end{pmatrix}\) , ce qui donne  \(\begin{cases} u_{2k}=10\times\dfrac{1}{2^k} \\ w_{2k}=-20\times\dfrac{1}{2^k}\end{cases}\) .

et pour  \(n=2k+1\)  impair,  \(X_{2k+1}=\begin{pmatrix}30\times\dfrac{1}{2^{k-1}}\\-10\times\dfrac{1}{2^{k-1}}\end{pmatrix}\) ,  ce qui donne  \(\begin{cases} u_{2k+1}=30\times\dfrac{1}{2^{k-1}} \\ w_{2k+1}=-10\times\dfrac{1}{2^{k-1}}\end{cases}\) .

5. Les deux suites réelles  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)     et  \((w_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  convergent donc vers  \(0\) .